ATIVIDADES DE MATEMÁTICA 25... DIVISIBILIDADE, NUMEROS PRIMOS E COMPOSTOS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE... (EXERCÍCIOS COM RESPOSTAS)

DIVISIBILIDADE, NUMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Vamos estudar algumas regras que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número é divisível por outro. Essas regras são chamadas critérios de divisibilidade.
a) Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando termina em 0,2,4,6 ou 8 isto é quando é um número par.
Exemplos
a) 536 é divisível por 2 pois termina em 6.
b) 243 não é divisível por 2 pois termina em 3

EXERCICIOS
1) Quais desses números são divisíveis por 2 ?
a) 43
b) 58 (X)
c) 62 (X)
d) 93
e) 106 (X)
f) 688 (X)
g) 981
h) 1000 (X)
i) 3214 (X)
j) 6847
l) 14649
m) 211116 (X)
n) 240377
o) 800001
p) 647731350 (X)

b) Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
Exemplos
a) 267 é divisível por 3 porque a soma:
2 + 6 + 7 = 15 é divisível por 3.
b) 2538 é divisível por 3, porque a soma:
2 + 5 + 3 + 8 = 18 é divisível por 3.
c) 1342 não é divisível por 3, porque a soma:
1 + 3 + 4 + 2 = 10 não é divisível por 3

EXERCICIOS
1) Quais desses números são divisíveis por 3?
a) 72 (X)
b) 83
c) 58
d) 96 (X)
e) 123 (X)
f) 431
g) 583
h) 609 (X)
i) 1111
j) 1375
l) 1272 (X)
m) 4932 (X)
n) 251463 (X)
o) 1040511 (X)
p) 8000240
q) 7112610 (X)

c) Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos forem zero ou formarem um número divisível por 4.
exemplos
a) 500 é divisível por 4 porque seus dois últimos algarismos são zero
b) 732 é divisível por 4 porque o número 32 é divisível por 4
c) 813 não é divisível por 4 porque 13 não é divisível por 4

EXERCICIOS
1) Quais desses números são divisíveis por 4?
a) 200 (X)
b) 323
c) 832 (X)
d) 918
e) 1020 (X)
f) 3725
g) 4636 (X)
h) 7812 (X)
i) 19012 (X)
j) 24714
l) 31433
m) 58347
n) 1520648 (X)
o) 3408549
p) 5331122
q) 2000008 (X)

d) Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
exemplos
a) 780 é divisível por 5 porque termina em 0.
b) 935 é divisível por 5 porque termina em 5.
c) 418 não é divisível por 5 porque não termina em 0 ou 5.

Exercícios
1) Quais desses números são divisíveis por 5?
a) 83
b) 45 (X)
c) 678
d) 840 (X)
e) 1720 (X)
f) 1089
g) 2643
h) 4735 (X)
i) 2643
j) 8310 (X)
l) 7642
m) 12315 (X)
n) 471185 (X)
o) 648933
p) 400040 (X)
q) 3821665 (X)

e) Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 por 3.
Exemplos
a) 312 é divisível por 6 porque é divisível por 2 e por 3.
b) 724 não é divisível por 6 pois é divisível por 2, mas não é por 3.

exercícios
1) Quais destes números são divisíveis por 6?
a) 126 (X)
b) 452
c) 831
d) 942 (X)
e) 1236 (X)
f) 3450 (X)
g) 2674
h) 7116 (X)
i) 10008 (X)
j) 12144 (X)
l) 12600 (X)
m) 51040 (X)
n) 521125
o) 110250 (X)
p) 469101
q) 4000002 (X)

f) Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
exemplo
a) 2538 é divisível por 9 porque a soma
2 + 5 + 3 + 8 = 18 é divisível por 9

b) 7562 não é divisível por 9 porque a soma
7 + 5 + 6 + 2 = 20 não é divisível por 9

exercícios
1) Quais desses números são divisíveis por 9?
a) 504 (X)
b) 720 (X)
c) 428
d) 818
e) 3169
f) 8856
g) 4444
h) 9108 (X)
i) 29133 (X)
j) 36199
l) 72618
m) 98793 (X)
n) 591218
o) 903402 (X)
p) 174150 (X)
q) 2000601 (X)

g) Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando termina em zero.
exemplos
a) 1870 é divisível por 10 porque termina em zero

b) 5384 não é divisível por 10 porque não termina em zero.

exercícios
1) Quais destes números são divisíveis por 10?
a) 482
b) 520 (X)
c) 655
d) 880 (X)
e) 1670 (X)
f) 1829
g) 3687
h) 8730 (X)
i) 41110 (X)
j) 29490 (X)
l) 34002
m) 78146
n) 643280 (X)
o) 128456
p) 890005
q) 492370 (X)

RESUMO
Um número é divisível por:
2 quando termina em 0,2,4,6 ou 8 isto é quando é par
3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um número divisível por 4
5 quando termina em 0 ou 5
6 quando é divisível por 2 e por 3
9 Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9
10 quando termina em 0
EXERCÍCIOS
1) Qual número é divisível por 4 e 9?
a) 1278
b) 5819
c) 5336
d) 2556 (X)

2) Qual o número é divisível por 2,3 e 5
a) 160
b) 180 (X)
c) 225
d) 230

 3)NÚMEROS PRIMOS
Os números que admitem apenas dois divisores (ele próprio e 1 ) são chamados de números primos.
exemplos
a) 2 é um número primo, pois D2 = { 1,2}
b) 3 é um número primo, pois D3 = { 1,3}
c) 5 é um número primo, pois D5 = { 1,5}
d) 7 é um número primo, pois D7 = { 1,7}
e) 11 é um número primo, pois D11 = { 1, 11}

O conjunto dos números primos é infinito
P = { 2,3,5,7,11,13,17,19,....}

NÚMEROS COMPOSTOS
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos
EXEMPLOS
a) 4 é um número composto, pois D4 = { 1,2,4}
b) 6 é um número composto, pois D6 = { 1,2,3,6}
c) 8 é um número composto, pois D8 = { 1,2,4,8}

EXERCICIO
1) Classifique cada número como "primo ou composto"
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
f) 25
g) 26
h) 27
i) 28
j) 29

DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS
Um número composto pode ser indicado como um produto de fatores primos, ou melhor, um número pode ser fatorado
exemplo
140 I 2
070 I 2
035 I 5
007 I 7
001

Procedimentos
Escrevemos o número à esquerda de uma barra vertical.
Dividimos o número (140) pelo menor número primo possível. Neste caso, é o 2 .
Voltamos a dividir o quociente, que é 70 , pelo menor número primo possível, sendo novamente 2
O processo é repetindo até que o quociente seja 1
outros exemplos
a) decompor em fatores primos o número 72
72 I 2
36 I 2
18 I 2
09 I 3
03 I 3
01

b) Decompor em fatores primos o número 525
525 I 3
175 I 5
035 I 5
007 I 7
001

EXERCICIOS
1) Decomponha em fatores primos os seguintes números
a) 28
b) 30
c) 32
d) 36
e) 40
f) 45
g) 60
h) 80
i) 120
j)125
l) 135
m) 250

2) Decomponha em fatores primos os seguintes números
a) 180
b) 220
c) 320
d) 308
e) 605
f) 616
g) 1008
h) 1210
i) 2058
j) 3125
l) 4225
m) 5040

3) Decomponha os números em fatores primos
a) 144
b) 315
c) 440
d) 312
e) 360
f) 500
g) 588
h) 680
i) 1458
j) 3150
l) 9240
m) 8450

(M.D.C) E (M.M.C).

MÁXIMO DIVISOR COMUM
O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c)
exemplos
consideremos os conjuntos dos divisores de 12 e 18
D12 = { 1,2,3,4,6,12}
D18 = { 1,2,3,6,9,18}
Os mesmos divisores ou números que aparecem em D12 e D18 são { 1,2,3,6} , os números ou divisores {4,9,12,18} aparecem mas não é comum nos dois divisores.
E o maior desses divisores comuns neste caso é 6 e indicamos m.d.c (12,18) = 6

exercícios
1) escreva o conjunto dos divisores de 8,9,10,12,15 e 20
a) D8={
b) D9={
c) D10= {
d) D12={
e) D15={
f) D20 ={

Processos práticos para determinação do mdc
a) Por decomposição em fatores primos (fatoração completa)
exemplo
determinar o mdc de 18 e 60
18 I 2
09I 3
03I 3
01

60 I 2
30 I 2
15 I 3
05 I 5
01 I
18 = 2 x 3 x 3
60 = 2 x 2 x3 x 5
comum nas duas fatorações é um número 2 e um número 3
sendo assim 3 x 2 = 6 o m.d,c,(18,60)= 6

exercício
1) determine o m.d.c.
a) m.d.c (9,12)
b) m.d.c.(8,20)
c) m.d.c.(10,15)
d) m.d.c.(9,12)
e) m.d.c.(10,20)
f) m.d.c.( 15,20)
g) m.d.c.(48,18)
h) m.d.c.(30,18)
i) m.d.c.(60,36)
j) m.d.c.(30,15)
l) m.d.c.(80,48)
m) m.d.c.(3,15,12)
n) m.d.c.(20,6,14)

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Quando o m.d.c. de dois números é igual, a 1 dizemos que eles são primos entre si
exemplos:
a) 4 e 9 são primos entre si, pois m.d.c.(4,9)= 1
b) 8 e 15 são primos entre si pois o m.d.c.(8,15) = 1